Bu sınıf–ders paketi, 2026–2027 OYSS uygulama listesinin dışındadır. Bu durum okul geneli ortak yazılı yapılmayacağı anlamına gelmez; okulun sınav planı ve kapsamı esas alınır.
Kısa konu anlatımıÖnce temelini güçlendir.
Üstel fonksiyonun yapısı
Üstel modelde değişken üste gelir: f(x)=aˣ, a>0 ve a≠1. Tanım kümesi ℝ, değer kümesi (0,∞) olur. a>1 ise artan; 0<a<1 ise azalandır. f(0)=1; f(x+1)/f(x)=a. Sabit fark doğrusal, sabit oran üstel modele işaret eder. N(t)=N₀aᵗ modelinde N₀ başlangıç değeridir; bağlam t’nin alanını sınırlar.
Hap bilgi: Oran sabitse üstel modeli araştır. a>1 artış; 0<a<1 azalış. Örnek:(1/3)²=1/9. Uyarı: a=1 sabit fonksiyondur.
Dikkat: F(0)=1 kuralı saf aˣ içindir; 7aˣ için başlangıç 7’dir. Negatif taban tüm gerçek x’lerde üstel fonksiyon vermez.
Logaritma ve terslik
logₐb=c ifadesi aᶜ=b demektir. a>0,a≠1,b>0 gerekir. Logaritma girdisi pozitifken çıktısı her gerçek sayı olabilir. y=aˣ ile y=logₐx ters fonksiyonlardır; noktaların koordinatları yer değiştirir. alogₐb=b yalnız b>0 için kullanılır.
Hap bilgi: Önce taban ve girdi koşullarını yaz; sonra üstel biçime çevir. Örnek: log₄(1/2)=−1/2. Uyarı: negatif sonuç mümkündür.
Dikkat: Logaritma bir bölme işlemi değildir: log₂8, 8/2 değil 3’tür. Sıfırın logaritması gerçek sayılarda tanımsızdır.
10 ve e tabanında logaritma
log x, 10 tabanında; ln x, e tabanında logaritmayı gösterir. e≈2,71828 pozitif sabittir. log 10ᵏ=k ve ln eᵏ=k. Farklı tabanlar aynı pozitif veriyi farklı ölçeklerde anlatır. ln x=(ln 10)log x. Logaritmik göstergelerde girdideki çarpan değişimi, göstergede toplama/fark değişimine dönüşebilir.
Hap bilgi: Tabanı yazmadan hesap yapma. log 100=2; ln e²=2. Uyarı: ln 100=2 değildir.
Dikkat: ln x ile log x genellikle eşit değildir. x=1 her ikisinin de 0 olduğu ortak girdidir. Logaritmik ölçeğin 2 artması, miktarın 2 birim artması demek değildir.
Logaritma özellikleri ve tanım koşulu
a>0,a≠1,u>0,v>0 için logₐ(uv)=logₐu+logₐv; logₐ(u/v)=logₐu−logₐv. u>0 için logₐ(uʳ)=rlogₐu. Taban değiştirme: logₐu=logbu/logba (b>0,b≠1). Bu ilişkiler toplama içeren argümana doğrudan uygulanmaz. Sadeleştirme ilk tanım kümesini genişletmez.
Hap bilgi: Çarpım→toplam; bölüm→fark; pozitif tabanlı argümanın üssü→katsayı. Örnek: log₅25³=6. Koşulları silme.
Dikkat: log(u+v)=log u+log v yanlış bir genellemedir. Ayrıca log(x²)=2log x yalnız x>0 ortak alanında kullanılabilir; soldaki ifade negatif x’te tanımlı olabilirken sağ taraf olamaz.
Üstel ve logaritmik denklem / eşitsizlik
Aynı geçerli tabandaki üstel değerler eşitse üsler eşittir. Taban 1’den büyükse sıralama korunur;0 ile 1 arasındaysa ters döner. Logaritmalı denklemde her argüman pozitif olmalıdır. Gerekirse u=aˣ>0 dönüşümü kullanılır; cebirsel u kökü negatifse gerçek x üretmez. Sonuç başlangıçtaki tanım kümesiyle kesiştirilir.
Hap bilgi: Alan→dönüşüm→cebir→alanla kesişim→yerine koyma. Azalan fonksiyonda eşitsizlik yönünü çevir.
Dikkat: Logaritmaları birleştirip oluşan tek argümanın pozitif olması, başlangıçtaki her argümanın pozitif olduğunu tek başına garantilemez. Her biri ayrı kontrol edilir.
Bağlamdan modele ve modelin sınırına
Başlangıç N₀, her h zamanda r katına dönüşüm için N(t)=N₀·rt/h. %p azalışta r=1−p/100; artışta r=1+p/100. “Ne zaman?” sorusunda logaritma kullanılır. Tam adım isteniyorsa eşitsizliği sağlayan ilk tamsayı seçilir ve komşusu denenir. Ekleme/çıkarma gibi dış olaylar varsa model o andan sonra yeni başlangıçla kurulmalıdır.
Hap bilgi: Önce zaman birimini ve oranı belirle. “Her 3 saatte iki kat” için üs t/3’tür. Kesikli olay sayısı için tamsayı kontrolü yap.
Dikkat: Yüzdeyi her defasında ilk miktardan çıkarmak, kalan miktarın sabit oranla azalmasıyla aynı model değildir. Eğitim verileri gerçek kurum ölçümü değildir; model sınırı açıklanmalıdır.
Örnek soru ve öğreten cevap
Bir kültürün hücre sayısı, üç ölçümde t=0,1,2 saat için sırasıyla 200, 600, 1800 bulunuyor. Sayının her saat aynı katına çıktığı modelde N(t) bağıntısını yazınız. Bu modelin neden doğrusal olmadığını açıklayınız.
Ardışık oranlar 600/200=1800/600=3; N(t)=200·3ᵗ. Artış miktarları 400 ve 1200 olduğundan sabit değildir; model doğrusal değildir.
