9 soru · 100 puan
4 öğrenci sayfası
Öğrenci PDF’sini aç ↗Soruları ekrandan oku ↓2026–2027 · 1. DÖNEM 1. YAZILI
12. Sınıf Matematik
Senaryona göre yazdır, çöz.
Okulunun seçtiği senaryoyu aç. Önce öğrenci kâğıdını çöz; sonra açıklamalı yanıtlar ve puanlama ölçütleriyle kontrol et.
8 senaryoA4 PDFSoruya özel rubrik
8 soru · 100 puan
4 öğrenci sayfası
Öğrenci PDF’sini aç ↗Soruları ekrandan oku ↓7 soru · 100 puan
4 öğrenci sayfası
Öğrenci PDF’sini aç ↗Soruları ekrandan oku ↓9 soru · 100 puan
5 öğrenci sayfası
Öğrenci PDF’sini aç ↗Soruları ekrandan oku ↓7 soru · 100 puan
4 öğrenci sayfası
Öğrenci PDF’sini aç ↗Soruları ekrandan oku ↓9 soru · 100 puan
4 öğrenci sayfası
Öğrenci PDF’sini aç ↗Soruları ekrandan oku ↓6 soru · 100 puan
3 öğrenci sayfası
Öğrenci PDF’sini aç ↗Soruları ekrandan oku ↓7 soru · 100 puan
4 öğrenci sayfası
Öğrenci PDF’sini aç ↗Soruları ekrandan oku ↓Ekrandan çalış
Metni büyütmek veya ekran okuyucuyla çalışmak için senaryonu aç.
Senaryo 1 · Sorular ve örnek yanıtlar
1. İki üstel model · 14 puan
f(x)=2^x ve g(x)=(1/2)^x bütün gerçek sayılarda tanımlıdır.
Her fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini, artma-azalma durumunu yazınız. x=−1,0,1 değerleriyle yorumunuzu destekleyiniz ve hiçbirinin neden 0 değerini almadığını belirtiniz.
Örnek yanıtı gör
İkisinin tanımı ℝ, görüntüsü(0,∞). f için değerler 1/2,1,2 ve artan; g için 2,1,1/2 ve azalan. Pozitif tabanın gerçek kuvvetleri pozitiftir;0’a yaklaşabilirler ama 0 olmazlar.
- Tabanın 1’den büyük ya da 0 ile 1 arasında olmasına bak.
- Üç kolay x değeriyle yönü kontrol et.
2. Üsten logaritmaya · 10 puan
Bir kültür modelinde hücre sayısı N=200·3^t bağıntısıyla veriliyor; t saat ve t≥0 dır.
Hücre sayısı 5400 olduğunda geçen süreyi önce üstel denklem, sonra logaritma eşitliğiyle ifade edip bulunuz. Logaritmanın bu problemde neyi temsil ettiğini açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
200·3^t=5400,3^t=27; t=log₃27=3 saat. Logaritma,3 tabanının 27 sonucunu vermesi için gereken üssü ifade eder.
- Başlangıç katsayısı 200’ü ayır.
- 3³=27 bağlantısını kullan.
3. Ondalık logaritma · 11 puan
Bir ölçümün bilimsel gösterimi x=10⁻³ olarak verilmiştir. Bu soruda log,10 tabanındaki logaritmadır.
log x değerini bulunuz. log 100000 ile log 0,01’i de hesaplayıp sonucun pozitif, sıfır veya negatif olmasını x’in 1 ile ilişkisi üzerinden açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
logx=−3, log 100000=5, log 0,01=−2.10 tabanı 1’den büyüktür; x>1 ise logx>0, x=1 ise 0,0<x<1 ise negatif olur.
- Sayıları 10’un kuvveti olarak yaz.
- Logaritmanın üssü verdiğini kullan.
4. Çarpım mı toplam mı? · 13 puan
a>0, a≠1 koşullarında log_a(25·4) ifadesi inceleniyor.
Çarpım kuralını kullanarak ifadeyi açınız. a=10 için sayısal sonucunu bulunuz. “log_a(u+v)=log_au+log_av” iddiasını u=v=1 örneğiyle denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
log_a(25·4)=log_a 25+log_a 4. a=10 için log 100=2. u=v=1 için sol log_a 2, sağ 0+0=0 olur; log_a 2≠0 çünkü 2≠1. Toplama kuralı iddiası yanlıştır.
- Geçerli kuralın çarpım içi için olduğunu kullan.
- Toplam iddiasını basit bir karşı örnekle sınayarak ayır.
5. Tek logaritmada birleştirme · 10 puan
Bu soruda bütün logaritmalar 2 tabanındadır. E=log₂48−log₂3+2 log₂2 verilmiştir.
E’yi önce tek bir logaritma, sonra tam sayı olarak yazınız. Kullandığınız bölüm ve kuvvet kurallarını belirtiniz.
Örnek yanıtı gör
E=log₂(48/3)+log₂(2²)=log₂(16×4)=log₂64=6. Çıkarma bölüm, katsayı logaritma içindeki üs olarak kullanılır.
- 2 log₂2=log₂4 dönüşümünü yap.
- Çarpım ve bölümle tek logaritmada birleştir.
6. Taban değiştirme · 10 puan
log₂3=p verilmiştir.
log₄27’yi p cinsinden bulunuz. Taban değiştirme ve kuvvet kurallarını her adımda gösteriniz.
Örnek yanıtı gör
log₄27=log₂27/log₂4=3 log₂3/2=3 p/2.
- Pay ve paydayı aynı 2 tabanıyla yaz.
- 27=3³ ve 4=2² dönüşümlerini kullan.
7. Denklemde tanım kontrolü · 12 puan
Gerçek sayılarda log₂(x−1)+log₂(x+1)=3 denklemi veriliyor.
Önce tanım koşulunu yazınız. Denklemi çözünüz ve cebirsel olarak bulunan adayların hangilerinin geçerli olduğunu denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
Tanım x−1>0 ve x+1>0, yani x>1. log₂(x²−1)=3 ⇒x²−1=8 ⇒x=±3. Koşulu yalnız 3 sağlar; çözüm kümesi{3}.
- Logaritma içlerini ayrı ayrı pozitif kıl.
- Çarpım kuralından sonra çıkan iki kökü başlangıç koşuluyla karşılaştır.
8. Azalan üstel eşitsizlik · 10 puan
Gerçek x için (1/3)^(2 x−1)≥9 eşitsizliği veriliyor.
Çözüm kümesini bulunuz. Taban 0 ile 1 arasında olduğunda üsleri karşılaştırırken yönün neden değiştiğini açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
9=(1/3)⁻². f(t)=(1/3)^t azalandır; bu yüzden 2 x−1≤−2. x≤−1/2; çözüm(−∞,−1/2].
- Sağ tarafı aynı tabana dönüştür.
- Azalan fonksiyonda daha büyük değerin daha küçük üse karşılık geldiğini kullan.
9. Yarılanan madde modeli · 10 puan
Bir maddenin miktarı her 6 saatte yarıya inmektedir. Başlangıç miktarı 80 gramdır; modelde başka ekleme veya kayıp mekanizması yoktur.
t≥0 için miktarı M(t) ile modelleyiniz. Miktarın 10 gram olduğu zamanı bulunuz ve modelin uzun zamanda 0’a yaklaşmasıyla herhangi bir sonlu zamanda 0 olması arasındaki farkı açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
M(t)=80(1/2)^(t/6).10/80=1/8=(1/2)³ olduğundan t/6=3, t=18 saat. Modelde miktar her sonlu t’de pozitiftir; t büyüdükçe 0’a yaklaşır ama 0’a eşit olmaz.
- Her 6 saati bir yarılanma olarak say.
- Üstel modelin pozitifliğini uzun zaman davranışından ayır.
Senaryo 2 · Sorular ve örnek yanıtlar
1. Üsten logaritmaya · 11 puan
Bir kültür modelinde hücre sayısı N=200·3^t bağıntısıyla veriliyor; t saat ve t≥0 dır.
Hücre sayısı 5400 olduğunda geçen süreyi önce üstel denklem, sonra logaritma eşitliğiyle ifade edip bulunuz. Logaritmanın bu problemde neyi temsil ettiğini açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
200·3^t=5400,3^t=27; t=log₃27=3 saat. Logaritma,3 tabanının 27 sonucunu vermesi için gereken üssü ifade eder.
- Başlangıç katsayısı 200’ü ayır.
- 3³=27 bağlantısını kullan.
2. Ondalık logaritma · 13 puan
Bir ölçümün bilimsel gösterimi x=10⁻³ olarak verilmiştir. Bu soruda log,10 tabanındaki logaritmadır.
log x değerini bulunuz. log 100000 ile log 0,01’i de hesaplayıp sonucun pozitif, sıfır veya negatif olmasını x’in 1 ile ilişkisi üzerinden açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
logx=−3, log 100000=5, log 0,01=−2.10 tabanı 1’den büyüktür; x>1 ise logx>0, x=1 ise 0,0<x<1 ise negatif olur.
- Sayıları 10’un kuvveti olarak yaz.
- Logaritmanın üssü verdiğini kullan.
3. Doğal logaritmalı büyüme · 14 puan
Bir deneyde miktar Q(t)=50 e^(0,2 t) ile modelleniyor; t≥0 saat. Modeldeki miktarın 150 olduğu an aranıyor. ln 3≈1,0986 veriliyor.
Zamanı doğal logaritma kullanarak bulunuz. Neden ln(e^u)=u özelliğini kullandığınızı açıklayınız ve sonucu yaklaşık iki ondalıkla yazınız.
Örnek yanıtı gör
e^(0,2 t)=3. Doğal logaritma e tabanında olduğundan 0,2 t=ln 3; t=ln 3/0,2≈5,493≈5,49 saat.
- Önce miktarı başlangıç 50’ye böl.
- İki tarafa ln uygulayarak üssü yalnız bırak.
4. Çarpım mı toplam mı? · 13 puan
a>0, a≠1 koşullarında log_a(25·4) ifadesi inceleniyor.
Çarpım kuralını kullanarak ifadeyi açınız. a=10 için sayısal sonucunu bulunuz. “log_a(u+v)=log_au+log_av” iddiasını u=v=1 örneğiyle denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
log_a(25·4)=log_a 25+log_a 4. a=10 için log 100=2. u=v=1 için sol log_a 2, sağ 0+0=0 olur; log_a 2≠0 çünkü 2≠1. Toplama kuralı iddiası yanlıştır.
- Geçerli kuralın çarpım içi için olduğunu kullan.
- Toplam iddiasını basit bir karşı örnekle sınayarak ayır.
5. Tek logaritmada birleştirme · 13 puan
Bu soruda bütün logaritmalar 2 tabanındadır. E=log₂48−log₂3+2 log₂2 verilmiştir.
E’yi önce tek bir logaritma, sonra tam sayı olarak yazınız. Kullandığınız bölüm ve kuvvet kurallarını belirtiniz.
Örnek yanıtı gör
E=log₂(48/3)+log₂(2²)=log₂(16×4)=log₂64=6. Çıkarma bölüm, katsayı logaritma içindeki üs olarak kullanılır.
- 2 log₂2=log₂4 dönüşümünü yap.
- Çarpım ve bölümle tek logaritmada birleştir.
6. Denklemde tanım kontrolü · 12 puan
Gerçek sayılarda log₂(x−1)+log₂(x+1)=3 denklemi veriliyor.
Önce tanım koşulunu yazınız. Denklemi çözünüz ve cebirsel olarak bulunan adayların hangilerinin geçerli olduğunu denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
Tanım x−1>0 ve x+1>0, yani x>1. log₂(x²−1)=3 ⇒x²−1=8 ⇒x=±3. Koşulu yalnız 3 sağlar; çözüm kümesi{3}.
- Logaritma içlerini ayrı ayrı pozitif kıl.
- Çarpım kuralından sonra çıkan iki kökü başlangıç koşuluyla karşılaştır.
7. Azalan üstel eşitsizlik · 13 puan
Gerçek x için (1/3)^(2 x−1)≥9 eşitsizliği veriliyor.
Çözüm kümesini bulunuz. Taban 0 ile 1 arasında olduğunda üsleri karşılaştırırken yönün neden değiştiğini açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
9=(1/3)⁻². f(t)=(1/3)^t azalandır; bu yüzden 2 x−1≤−2. x≤−1/2; çözüm(−∞,−1/2].
- Sağ tarafı aynı tabana dönüştür.
- Azalan fonksiyonda daha büyük değerin daha küçük üse karşılık geldiğini kullan.
8. Yarılanan madde modeli · 11 puan
Bir maddenin miktarı her 6 saatte yarıya inmektedir. Başlangıç miktarı 80 gramdır; modelde başka ekleme veya kayıp mekanizması yoktur.
t≥0 için miktarı M(t) ile modelleyiniz. Miktarın 10 gram olduğu zamanı bulunuz ve modelin uzun zamanda 0’a yaklaşmasıyla herhangi bir sonlu zamanda 0 olması arasındaki farkı açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
M(t)=80(1/2)^(t/6).10/80=1/8=(1/2)³ olduğundan t/6=3, t=18 saat. Modelde miktar her sonlu t’de pozitiftir; t büyüdükçe 0’a yaklaşır ama 0’a eşit olmaz.
- Her 6 saati bir yarılanma olarak say.
- Üstel modelin pozitifliğini uzun zaman davranışından ayır.
Senaryo 3 · Sorular ve örnek yanıtlar
1. Üsten logaritmaya · 12 puan
Bir kültür modelinde hücre sayısı N=200·3^t bağıntısıyla veriliyor; t saat ve t≥0 dır.
Hücre sayısı 5400 olduğunda geçen süreyi önce üstel denklem, sonra logaritma eşitliğiyle ifade edip bulunuz. Logaritmanın bu problemde neyi temsil ettiğini açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
200·3^t=5400,3^t=27; t=log₃27=3 saat. Logaritma,3 tabanının 27 sonucunu vermesi için gereken üssü ifade eder.
- Başlangıç katsayısı 200’ü ayır.
- 3³=27 bağlantısını kullan.
2. Çarpım mı toplam mı? · 15 puan
a>0, a≠1 koşullarında log_a(25·4) ifadesi inceleniyor.
Çarpım kuralını kullanarak ifadeyi açınız. a=10 için sayısal sonucunu bulunuz. “log_a(u+v)=log_au+log_av” iddiasını u=v=1 örneğiyle denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
log_a(25·4)=log_a 25+log_a 4. a=10 için log 100=2. u=v=1 için sol log_a 2, sağ 0+0=0 olur; log_a 2≠0 çünkü 2≠1. Toplama kuralı iddiası yanlıştır.
- Geçerli kuralın çarpım içi için olduğunu kullan.
- Toplam iddiasını basit bir karşı örnekle sınayarak ayır.
3. Yarılanan madde modeli · 15 puan
Bir maddenin miktarı her 6 saatte yarıya inmektedir. Başlangıç miktarı 80 gramdır; modelde başka ekleme veya kayıp mekanizması yoktur.
t≥0 için miktarı M(t) ile modelleyiniz. Miktarın 10 gram olduğu zamanı bulunuz ve modelin uzun zamanda 0’a yaklaşmasıyla herhangi bir sonlu zamanda 0 olması arasındaki farkı açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
M(t)=80(1/2)^(t/6).10/80=1/8=(1/2)³ olduğundan t/6=3, t=18 saat. Modelde miktar her sonlu t’de pozitiftir; t büyüdükçe 0’a yaklaşır ama 0’a eşit olmaz.
- Her 6 saati bir yarılanma olarak say.
- Üstel modelin pozitifliğini uzun zaman davranışından ayır.
4. Dizi bir fonksiyondur · 15 puan
aₙ=3 n−1, n∈{1,2,3,…} ile bir sayı dizisi tanımlanıyor. Bir öğrenci a_(1/2) değerini hesaplayıp dizinin ikinci terimi olduğunu söylüyor.
İlk üç terimi bulunuz. Dizinin tanım kümesini fonksiyon kavramıyla açıklayıp öğrencinin yorumunu değerlendiriniz.
Örnek yanıtı gör
İlk terimler 2,5,8. Dizi, pozitif tam sayı indislerinden gerçek sayılara bir fonksiyondur.1/2 tanım kümesinde değildir; a_(1/2) bu dizide terim değildir. İkinci terim a₂=5’tir.
- İndis olarak 1,2,3 yerleştir.
- Formülün cebirsel olarak başka sayılarda hesaplanabilmesiyle tanım kümesini ayır.
5. Sabit artışlı sıra · 15 puan
Bir aritmetik dizide a₃=11 ve a₈=31 verilmiştir.
Ortak farkı, ilk terimi ve genel terimi bulunuz. Bulduğunuz kuralı verilen iki terimde kontrol ediniz.
Örnek yanıtı gör
Beş adımda 20 artış olduğundan d=(31−11)/5=4. a₁=11−2×4=3; aₙ=3+4(n−1)=4 n−1. n=3 için 11, n=8 için 31.
- İndis farkını terim farkıyla ilişkilendir.
- İlk terime geri gidip genel kuralı yaz.
6. Sabit çarpanlı dizi · 15 puan
Bir geometrik dizinin ilk terimi 81 ve ortak çarpanı 1/3 tür.
Genel terimi, dördüncü terimi ve ilk dört terimin toplamını bulunuz. Dizinin aritmetik olmadığını ilk üç terimin farklarıyla gösteriniz.
Örnek yanıtı gör
aₙ=81(1/3)^(n−1). Terimler 81,27,9,3; a₄=3 ve toplam 120. İlk farklar−54 ve−18 eşit değildir; aritmetik değildir.
- Her adımda 1/3 ile çarp.
- Toplamı ve ardışık farkları ayrı hesapla.
7. Tiyatro salonu · 13 puan
Bir tiyatro salonunun ilk sırasında 18 koltuk vardır. Her sonraki sırada öncekinden 2 koltuk fazladır; toplam 12 sıra vardır.
Son sıradaki koltuk sayısını ve salonun toplam kapasitesini bulunuz. İlk ve son sıra toplamlarını kullanarak toplam formülünün neden çalıştığını açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
Son sıra 18+11×2=40 koltuk. Toplam 12(18+40)/2=348 koltuk. Birinci-sonuncu, ikinci-sondan ikinci gibi 6 çiftin her biri 58 koltuk içerir;6×58=348.
- Aritmetik artışta 12. sıraya 11 adım olduğunu kullan.
- Sıraları simetrik çiftlere ayır.
Senaryo 4 · Sorular ve örnek yanıtlar
1. İki üstel model · 14 puan
f(x)=2^x ve g(x)=(1/2)^x bütün gerçek sayılarda tanımlıdır.
Her fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini, artma-azalma durumunu yazınız. x=−1,0,1 değerleriyle yorumunuzu destekleyiniz ve hiçbirinin neden 0 değerini almadığını belirtiniz.
Örnek yanıtı gör
İkisinin tanımı ℝ, görüntüsü(0,∞). f için değerler 1/2,1,2 ve artan; g için 2,1,1/2 ve azalan. Pozitif tabanın gerçek kuvvetleri pozitiftir;0’a yaklaşabilirler ama 0 olmazlar.
- Tabanın 1’den büyük ya da 0 ile 1 arasında olmasına bak.
- Üç kolay x değeriyle yönü kontrol et.
2. Ondalık logaritma · 11 puan
Bir ölçümün bilimsel gösterimi x=10⁻³ olarak verilmiştir. Bu soruda log,10 tabanındaki logaritmadır.
log x değerini bulunuz. log 100000 ile log 0,01’i de hesaplayıp sonucun pozitif, sıfır veya negatif olmasını x’in 1 ile ilişkisi üzerinden açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
logx=−3, log 100000=5, log 0,01=−2.10 tabanı 1’den büyüktür; x>1 ise logx>0, x=1 ise 0,0<x<1 ise negatif olur.
- Sayıları 10’un kuvveti olarak yaz.
- Logaritmanın üssü verdiğini kullan.
3. Çarpım mı toplam mı? · 13 puan
a>0, a≠1 koşullarında log_a(25·4) ifadesi inceleniyor.
Çarpım kuralını kullanarak ifadeyi açınız. a=10 için sayısal sonucunu bulunuz. “log_a(u+v)=log_au+log_av” iddiasını u=v=1 örneğiyle denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
log_a(25·4)=log_a 25+log_a 4. a=10 için log 100=2. u=v=1 için sol log_a 2, sağ 0+0=0 olur; log_a 2≠0 çünkü 2≠1. Toplama kuralı iddiası yanlıştır.
- Geçerli kuralın çarpım içi için olduğunu kullan.
- Toplam iddiasını basit bir karşı örnekle sınayarak ayır.
4. Tek logaritmada birleştirme · 10 puan
Bu soruda bütün logaritmalar 2 tabanındadır. E=log₂48−log₂3+2 log₂2 verilmiştir.
E’yi önce tek bir logaritma, sonra tam sayı olarak yazınız. Kullandığınız bölüm ve kuvvet kurallarını belirtiniz.
Örnek yanıtı gör
E=log₂(48/3)+log₂(2²)=log₂(16×4)=log₂64=6. Çıkarma bölüm, katsayı logaritma içindeki üs olarak kullanılır.
- 2 log₂2=log₂4 dönüşümünü yap.
- Çarpım ve bölümle tek logaritmada birleştir.
5. Denklemde tanım kontrolü · 12 puan
Gerçek sayılarda log₂(x−1)+log₂(x+1)=3 denklemi veriliyor.
Önce tanım koşulunu yazınız. Denklemi çözünüz ve cebirsel olarak bulunan adayların hangilerinin geçerli olduğunu denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
Tanım x−1>0 ve x+1>0, yani x>1. log₂(x²−1)=3 ⇒x²−1=8 ⇒x=±3. Koşulu yalnız 3 sağlar; çözüm kümesi{3}.
- Logaritma içlerini ayrı ayrı pozitif kıl.
- Çarpım kuralından sonra çıkan iki kökü başlangıç koşuluyla karşılaştır.
6. Azalan üstel eşitsizlik · 10 puan
Gerçek x için (1/3)^(2 x−1)≥9 eşitsizliği veriliyor.
Çözüm kümesini bulunuz. Taban 0 ile 1 arasında olduğunda üsleri karşılaştırırken yönün neden değiştiğini açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
9=(1/3)⁻². f(t)=(1/3)^t azalandır; bu yüzden 2 x−1≤−2. x≤−1/2; çözüm(−∞,−1/2].
- Sağ tarafı aynı tabana dönüştür.
- Azalan fonksiyonda daha büyük değerin daha küçük üse karşılık geldiğini kullan.
7. Logaritmik eşitsizlik · 10 puan
Gerçek x için log₃(2 x−1)<2 eşitsizliği veriliyor.
Logaritmanın tanımlılık koşulunu ve eşitsizlikten gelen koşulu ayrı bulunuz. Çözüm aralığını yazınız.
Örnek yanıtı gör
2 x−1>0 ⇒x>1/2.3>1 olduğundan 2 x−1<9 ⇒x<5. İki koşulun kesişimi(1/2,5).
- Logaritma içini pozitif kıl.
- Artan 3 tabanlı logaritmada karşılaştırmayı içlere aktar.
8. Dizi bir fonksiyondur · 10 puan
aₙ=3 n−1, n∈{1,2,3,…} ile bir sayı dizisi tanımlanıyor. Bir öğrenci a_(1/2) değerini hesaplayıp dizinin ikinci terimi olduğunu söylüyor.
İlk üç terimi bulunuz. Dizinin tanım kümesini fonksiyon kavramıyla açıklayıp öğrencinin yorumunu değerlendiriniz.
Örnek yanıtı gör
İlk terimler 2,5,8. Dizi, pozitif tam sayı indislerinden gerçek sayılara bir fonksiyondur.1/2 tanım kümesinde değildir; a_(1/2) bu dizide terim değildir. İkinci terim a₂=5’tir.
- İndis olarak 1,2,3 yerleştir.
- Formülün cebirsel olarak başka sayılarda hesaplanabilmesiyle tanım kümesini ayır.
9. İndirgeme bağıntısını izleme · 10 puan
a₁=2 ve n≥1 için aₙ₊₁=2 aₙ+1 tanımlanıyor.
a₂, a₃ ve a₄’ü bulunuz. aₙ=3·2^(n−1)−1 ifadesinin ilk terimi ve verilen indirgeme bağıntısını sağladığını gösteriniz.
Örnek yanıtı gör
a₂=5, a₃=11, a₄=23. n=1 için 3·1−1=2. 2[3·2^(n−1)−1]+1=3·2^n−1; bu aₙ₊₁ formülüdür.
- Önceki terimi bağıntıya sırayla yerleştir.
- Önerilen genel ifadeyi başlangıç ve geçiş koşullarında kontrol et.
Senaryo 5 · Sorular ve örnek yanıtlar
1. Üsten logaritmaya · 12 puan
Bir kültür modelinde hücre sayısı N=200·3^t bağıntısıyla veriliyor; t saat ve t≥0 dır.
Hücre sayısı 5400 olduğunda geçen süreyi önce üstel denklem, sonra logaritma eşitliğiyle ifade edip bulunuz. Logaritmanın bu problemde neyi temsil ettiğini açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
200·3^t=5400,3^t=27; t=log₃27=3 saat. Logaritma,3 tabanının 27 sonucunu vermesi için gereken üssü ifade eder.
- Başlangıç katsayısı 200’ü ayır.
- 3³=27 bağlantısını kullan.
2. Ondalık logaritma · 15 puan
Bir ölçümün bilimsel gösterimi x=10⁻³ olarak verilmiştir. Bu soruda log,10 tabanındaki logaritmadır.
log x değerini bulunuz. log 100000 ile log 0,01’i de hesaplayıp sonucun pozitif, sıfır veya negatif olmasını x’in 1 ile ilişkisi üzerinden açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
logx=−3, log 100000=5, log 0,01=−2.10 tabanı 1’den büyüktür; x>1 ise logx>0, x=1 ise 0,0<x<1 ise negatif olur.
- Sayıları 10’un kuvveti olarak yaz.
- Logaritmanın üssü verdiğini kullan.
3. Çarpım mı toplam mı? · 15 puan
a>0, a≠1 koşullarında log_a(25·4) ifadesi inceleniyor.
Çarpım kuralını kullanarak ifadeyi açınız. a=10 için sayısal sonucunu bulunuz. “log_a(u+v)=log_au+log_av” iddiasını u=v=1 örneğiyle denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
log_a(25·4)=log_a 25+log_a 4. a=10 için log 100=2. u=v=1 için sol log_a 2, sağ 0+0=0 olur; log_a 2≠0 çünkü 2≠1. Toplama kuralı iddiası yanlıştır.
- Geçerli kuralın çarpım içi için olduğunu kullan.
- Toplam iddiasını basit bir karşı örnekle sınayarak ayır.
4. Tek logaritmada birleştirme · 15 puan
Bu soruda bütün logaritmalar 2 tabanındadır. E=log₂48−log₂3+2 log₂2 verilmiştir.
E’yi önce tek bir logaritma, sonra tam sayı olarak yazınız. Kullandığınız bölüm ve kuvvet kurallarını belirtiniz.
Örnek yanıtı gör
E=log₂(48/3)+log₂(2²)=log₂(16×4)=log₂64=6. Çıkarma bölüm, katsayı logaritma içindeki üs olarak kullanılır.
- 2 log₂2=log₂4 dönüşümünü yap.
- Çarpım ve bölümle tek logaritmada birleştir.
5. Denklemde tanım kontrolü · 17 puan
Gerçek sayılarda log₂(x−1)+log₂(x+1)=3 denklemi veriliyor.
Önce tanım koşulunu yazınız. Denklemi çözünüz ve cebirsel olarak bulunan adayların hangilerinin geçerli olduğunu denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
Tanım x−1>0 ve x+1>0, yani x>1. log₂(x²−1)=3 ⇒x²−1=8 ⇒x=±3. Koşulu yalnız 3 sağlar; çözüm kümesi{3}.
- Logaritma içlerini ayrı ayrı pozitif kıl.
- Çarpım kuralından sonra çıkan iki kökü başlangıç koşuluyla karşılaştır.
6. Yarılanan madde modeli · 13 puan
Bir maddenin miktarı her 6 saatte yarıya inmektedir. Başlangıç miktarı 80 gramdır; modelde başka ekleme veya kayıp mekanizması yoktur.
t≥0 için miktarı M(t) ile modelleyiniz. Miktarın 10 gram olduğu zamanı bulunuz ve modelin uzun zamanda 0’a yaklaşmasıyla herhangi bir sonlu zamanda 0 olması arasındaki farkı açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
M(t)=80(1/2)^(t/6).10/80=1/8=(1/2)³ olduğundan t/6=3, t=18 saat. Modelde miktar her sonlu t’de pozitiftir; t büyüdükçe 0’a yaklaşır ama 0’a eşit olmaz.
- Her 6 saati bir yarılanma olarak say.
- Üstel modelin pozitifliğini uzun zaman davranışından ayır.
7. Dizi bir fonksiyondur · 13 puan
aₙ=3 n−1, n∈{1,2,3,…} ile bir sayı dizisi tanımlanıyor. Bir öğrenci a_(1/2) değerini hesaplayıp dizinin ikinci terimi olduğunu söylüyor.
İlk üç terimi bulunuz. Dizinin tanım kümesini fonksiyon kavramıyla açıklayıp öğrencinin yorumunu değerlendiriniz.
Örnek yanıtı gör
İlk terimler 2,5,8. Dizi, pozitif tam sayı indislerinden gerçek sayılara bir fonksiyondur.1/2 tanım kümesinde değildir; a_(1/2) bu dizide terim değildir. İkinci terim a₂=5’tir.
- İndis olarak 1,2,3 yerleştir.
- Formülün cebirsel olarak başka sayılarda hesaplanabilmesiyle tanım kümesini ayır.
Senaryo 6 · Sorular ve örnek yanıtlar
1. Ondalık logaritma · 11 puan
Bir ölçümün bilimsel gösterimi x=10⁻³ olarak verilmiştir. Bu soruda log,10 tabanındaki logaritmadır.
log x değerini bulunuz. log 100000 ile log 0,01’i de hesaplayıp sonucun pozitif, sıfır veya negatif olmasını x’in 1 ile ilişkisi üzerinden açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
logx=−3, log 100000=5, log 0,01=−2.10 tabanı 1’den büyüktür; x>1 ise logx>0, x=1 ise 0,0<x<1 ise negatif olur.
- Sayıları 10’un kuvveti olarak yaz.
- Logaritmanın üssü verdiğini kullan.
2. Doğal logaritmalı büyüme · 13 puan
Bir deneyde miktar Q(t)=50 e^(0,2 t) ile modelleniyor; t≥0 saat. Modeldeki miktarın 150 olduğu an aranıyor. ln 3≈1,0986 veriliyor.
Zamanı doğal logaritma kullanarak bulunuz. Neden ln(e^u)=u özelliğini kullandığınızı açıklayınız ve sonucu yaklaşık iki ondalıkla yazınız.
Örnek yanıtı gör
e^(0,2 t)=3. Doğal logaritma e tabanında olduğundan 0,2 t=ln 3; t=ln 3/0,2≈5,493≈5,49 saat.
- Önce miktarı başlangıç 50’ye böl.
- İki tarafa ln uygulayarak üssü yalnız bırak.
3. Çarpım mı toplam mı? · 13 puan
a>0, a≠1 koşullarında log_a(25·4) ifadesi inceleniyor.
Çarpım kuralını kullanarak ifadeyi açınız. a=10 için sayısal sonucunu bulunuz. “log_a(u+v)=log_au+log_av” iddiasını u=v=1 örneğiyle denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
log_a(25·4)=log_a 25+log_a 4. a=10 için log 100=2. u=v=1 için sol log_a 2, sağ 0+0=0 olur; log_a 2≠0 çünkü 2≠1. Toplama kuralı iddiası yanlıştır.
- Geçerli kuralın çarpım içi için olduğunu kullan.
- Toplam iddiasını basit bir karşı örnekle sınayarak ayır.
4. Tek logaritmada birleştirme · 11 puan
Bu soruda bütün logaritmalar 2 tabanındadır. E=log₂48−log₂3+2 log₂2 verilmiştir.
E’yi önce tek bir logaritma, sonra tam sayı olarak yazınız. Kullandığınız bölüm ve kuvvet kurallarını belirtiniz.
Örnek yanıtı gör
E=log₂(48/3)+log₂(2²)=log₂(16×4)=log₂64=6. Çıkarma bölüm, katsayı logaritma içindeki üs olarak kullanılır.
- 2 log₂2=log₂4 dönüşümünü yap.
- Çarpım ve bölümle tek logaritmada birleştir.
5. Taban değiştirme · 10 puan
log₂3=p verilmiştir.
log₄27’yi p cinsinden bulunuz. Taban değiştirme ve kuvvet kurallarını her adımda gösteriniz.
Örnek yanıtı gör
log₄27=log₂27/log₂4=3 log₂3/2=3 p/2.
- Pay ve paydayı aynı 2 tabanıyla yaz.
- 27=3³ ve 4=2² dönüşümlerini kullan.
6. Denklemde tanım kontrolü · 12 puan
Gerçek sayılarda log₂(x−1)+log₂(x+1)=3 denklemi veriliyor.
Önce tanım koşulunu yazınız. Denklemi çözünüz ve cebirsel olarak bulunan adayların hangilerinin geçerli olduğunu denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
Tanım x−1>0 ve x+1>0, yani x>1. log₂(x²−1)=3 ⇒x²−1=8 ⇒x=±3. Koşulu yalnız 3 sağlar; çözüm kümesi{3}.
- Logaritma içlerini ayrı ayrı pozitif kıl.
- Çarpım kuralından sonra çıkan iki kökü başlangıç koşuluyla karşılaştır.
7. Yarılanan madde modeli · 10 puan
Bir maddenin miktarı her 6 saatte yarıya inmektedir. Başlangıç miktarı 80 gramdır; modelde başka ekleme veya kayıp mekanizması yoktur.
t≥0 için miktarı M(t) ile modelleyiniz. Miktarın 10 gram olduğu zamanı bulunuz ve modelin uzun zamanda 0’a yaklaşmasıyla herhangi bir sonlu zamanda 0 olması arasındaki farkı açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
M(t)=80(1/2)^(t/6).10/80=1/8=(1/2)³ olduğundan t/6=3, t=18 saat. Modelde miktar her sonlu t’de pozitiftir; t büyüdükçe 0’a yaklaşır ama 0’a eşit olmaz.
- Her 6 saati bir yarılanma olarak say.
- Üstel modelin pozitifliğini uzun zaman davranışından ayır.
8. Dizi bir fonksiyondur · 10 puan
aₙ=3 n−1, n∈{1,2,3,…} ile bir sayı dizisi tanımlanıyor. Bir öğrenci a_(1/2) değerini hesaplayıp dizinin ikinci terimi olduğunu söylüyor.
İlk üç terimi bulunuz. Dizinin tanım kümesini fonksiyon kavramıyla açıklayıp öğrencinin yorumunu değerlendiriniz.
Örnek yanıtı gör
İlk terimler 2,5,8. Dizi, pozitif tam sayı indislerinden gerçek sayılara bir fonksiyondur.1/2 tanım kümesinde değildir; a_(1/2) bu dizide terim değildir. İkinci terim a₂=5’tir.
- İndis olarak 1,2,3 yerleştir.
- Formülün cebirsel olarak başka sayılarda hesaplanabilmesiyle tanım kümesini ayır.
9. İndirgeme bağıntısını izleme · 10 puan
a₁=2 ve n≥1 için aₙ₊₁=2 aₙ+1 tanımlanıyor.
a₂, a₃ ve a₄’ü bulunuz. aₙ=3·2^(n−1)−1 ifadesinin ilk terimi ve verilen indirgeme bağıntısını sağladığını gösteriniz.
Örnek yanıtı gör
a₂=5, a₃=11, a₄=23. n=1 için 3·1−1=2. 2[3·2^(n−1)−1]+1=3·2^n−1; bu aₙ₊₁ formülüdür.
- Önceki terimi bağıntıya sırayla yerleştir.
- Önerilen genel ifadeyi başlangıç ve geçiş koşullarında kontrol et.
Senaryo 7 · Sorular ve örnek yanıtlar
1. İki üstel model · 20 puan
f(x)=2^x ve g(x)=(1/2)^x bütün gerçek sayılarda tanımlıdır.
Her fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini, artma-azalma durumunu yazınız. x=−1,0,1 değerleriyle yorumunuzu destekleyiniz ve hiçbirinin neden 0 değerini almadığını belirtiniz.
Örnek yanıtı gör
İkisinin tanımı ℝ, görüntüsü(0,∞). f için değerler 1/2,1,2 ve artan; g için 2,1,1/2 ve azalan. Pozitif tabanın gerçek kuvvetleri pozitiftir;0’a yaklaşabilirler ama 0 olmazlar.
- Tabanın 1’den büyük ya da 0 ile 1 arasında olmasına bak.
- Üç kolay x değeriyle yönü kontrol et.
2. Ondalık logaritma · 16 puan
Bir ölçümün bilimsel gösterimi x=10⁻³ olarak verilmiştir. Bu soruda log,10 tabanındaki logaritmadır.
log x değerini bulunuz. log 100000 ile log 0,01’i de hesaplayıp sonucun pozitif, sıfır veya negatif olmasını x’in 1 ile ilişkisi üzerinden açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
logx=−3, log 100000=5, log 0,01=−2.10 tabanı 1’den büyüktür; x>1 ise logx>0, x=1 ise 0,0<x<1 ise negatif olur.
- Sayıları 10’un kuvveti olarak yaz.
- Logaritmanın üssü verdiğini kullan.
3. Denklemde tanım kontrolü · 18 puan
Gerçek sayılarda log₂(x−1)+log₂(x+1)=3 denklemi veriliyor.
Önce tanım koşulunu yazınız. Denklemi çözünüz ve cebirsel olarak bulunan adayların hangilerinin geçerli olduğunu denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
Tanım x−1>0 ve x+1>0, yani x>1. log₂(x²−1)=3 ⇒x²−1=8 ⇒x=±3. Koşulu yalnız 3 sağlar; çözüm kümesi{3}.
- Logaritma içlerini ayrı ayrı pozitif kıl.
- Çarpım kuralından sonra çıkan iki kökü başlangıç koşuluyla karşılaştır.
4. Dizi bir fonksiyondur · 16 puan
aₙ=3 n−1, n∈{1,2,3,…} ile bir sayı dizisi tanımlanıyor. Bir öğrenci a_(1/2) değerini hesaplayıp dizinin ikinci terimi olduğunu söylüyor.
İlk üç terimi bulunuz. Dizinin tanım kümesini fonksiyon kavramıyla açıklayıp öğrencinin yorumunu değerlendiriniz.
Örnek yanıtı gör
İlk terimler 2,5,8. Dizi, pozitif tam sayı indislerinden gerçek sayılara bir fonksiyondur.1/2 tanım kümesinde değildir; a_(1/2) bu dizide terim değildir. İkinci terim a₂=5’tir.
- İndis olarak 1,2,3 yerleştir.
- Formülün cebirsel olarak başka sayılarda hesaplanabilmesiyle tanım kümesini ayır.
5. İndirgeme bağıntısını izleme · 15 puan
a₁=2 ve n≥1 için aₙ₊₁=2 aₙ+1 tanımlanıyor.
a₂, a₃ ve a₄’ü bulunuz. aₙ=3·2^(n−1)−1 ifadesinin ilk terimi ve verilen indirgeme bağıntısını sağladığını gösteriniz.
Örnek yanıtı gör
a₂=5, a₃=11, a₄=23. n=1 için 3·1−1=2. 2[3·2^(n−1)−1]+1=3·2^n−1; bu aₙ₊₁ formülüdür.
- Önceki terimi bağıntıya sırayla yerleştir.
- Önerilen genel ifadeyi başlangıç ve geçiş koşullarında kontrol et.
6. Sabit artışlı sıra · 15 puan
Bir aritmetik dizide a₃=11 ve a₈=31 verilmiştir.
Ortak farkı, ilk terimi ve genel terimi bulunuz. Bulduğunuz kuralı verilen iki terimde kontrol ediniz.
Örnek yanıtı gör
Beş adımda 20 artış olduğundan d=(31−11)/5=4. a₁=11−2×4=3; aₙ=3+4(n−1)=4 n−1. n=3 için 11, n=8 için 31.
- İndis farkını terim farkıyla ilişkilendir.
- İlk terime geri gidip genel kuralı yaz.
Senaryo 8 · Sorular ve örnek yanıtlar
1. Üsten logaritmaya · 12 puan
Bir kültür modelinde hücre sayısı N=200·3^t bağıntısıyla veriliyor; t saat ve t≥0 dır.
Hücre sayısı 5400 olduğunda geçen süreyi önce üstel denklem, sonra logaritma eşitliğiyle ifade edip bulunuz. Logaritmanın bu problemde neyi temsil ettiğini açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
200·3^t=5400,3^t=27; t=log₃27=3 saat. Logaritma,3 tabanının 27 sonucunu vermesi için gereken üssü ifade eder.
- Başlangıç katsayısı 200’ü ayır.
- 3³=27 bağlantısını kullan.
2. Ondalık logaritma · 15 puan
Bir ölçümün bilimsel gösterimi x=10⁻³ olarak verilmiştir. Bu soruda log,10 tabanındaki logaritmadır.
log x değerini bulunuz. log 100000 ile log 0,01’i de hesaplayıp sonucun pozitif, sıfır veya negatif olmasını x’in 1 ile ilişkisi üzerinden açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
logx=−3, log 100000=5, log 0,01=−2.10 tabanı 1’den büyüktür; x>1 ise logx>0, x=1 ise 0,0<x<1 ise negatif olur.
- Sayıları 10’un kuvveti olarak yaz.
- Logaritmanın üssü verdiğini kullan.
3. Çarpım mı toplam mı? · 15 puan
a>0, a≠1 koşullarında log_a(25·4) ifadesi inceleniyor.
Çarpım kuralını kullanarak ifadeyi açınız. a=10 için sayısal sonucunu bulunuz. “log_a(u+v)=log_au+log_av” iddiasını u=v=1 örneğiyle denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
log_a(25·4)=log_a 25+log_a 4. a=10 için log 100=2. u=v=1 için sol log_a 2, sağ 0+0=0 olur; log_a 2≠0 çünkü 2≠1. Toplama kuralı iddiası yanlıştır.
- Geçerli kuralın çarpım içi için olduğunu kullan.
- Toplam iddiasını basit bir karşı örnekle sınayarak ayır.
4. Denklemde tanım kontrolü · 18 puan
Gerçek sayılarda log₂(x−1)+log₂(x+1)=3 denklemi veriliyor.
Önce tanım koşulunu yazınız. Denklemi çözünüz ve cebirsel olarak bulunan adayların hangilerinin geçerli olduğunu denetleyiniz.
Örnek yanıtı gör
Tanım x−1>0 ve x+1>0, yani x>1. log₂(x²−1)=3 ⇒x²−1=8 ⇒x=±3. Koşulu yalnız 3 sağlar; çözüm kümesi{3}.
- Logaritma içlerini ayrı ayrı pozitif kıl.
- Çarpım kuralından sonra çıkan iki kökü başlangıç koşuluyla karşılaştır.
5. Yarılanan madde modeli · 14 puan
Bir maddenin miktarı her 6 saatte yarıya inmektedir. Başlangıç miktarı 80 gramdır; modelde başka ekleme veya kayıp mekanizması yoktur.
t≥0 için miktarı M(t) ile modelleyiniz. Miktarın 10 gram olduğu zamanı bulunuz ve modelin uzun zamanda 0’a yaklaşmasıyla herhangi bir sonlu zamanda 0 olması arasındaki farkı açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
M(t)=80(1/2)^(t/6).10/80=1/8=(1/2)³ olduğundan t/6=3, t=18 saat. Modelde miktar her sonlu t’de pozitiftir; t büyüdükçe 0’a yaklaşır ama 0’a eşit olmaz.
- Her 6 saati bir yarılanma olarak say.
- Üstel modelin pozitifliğini uzun zaman davranışından ayır.
6. İndirgeme bağıntısını izleme · 13 puan
a₁=2 ve n≥1 için aₙ₊₁=2 aₙ+1 tanımlanıyor.
a₂, a₃ ve a₄’ü bulunuz. aₙ=3·2^(n−1)−1 ifadesinin ilk terimi ve verilen indirgeme bağıntısını sağladığını gösteriniz.
Örnek yanıtı gör
a₂=5, a₃=11, a₄=23. n=1 için 3·1−1=2. 2[3·2^(n−1)−1]+1=3·2^n−1; bu aₙ₊₁ formülüdür.
- Önceki terimi bağıntıya sırayla yerleştir.
- Önerilen genel ifadeyi başlangıç ve geçiş koşullarında kontrol et.
7. Tiyatro salonu · 13 puan
Bir tiyatro salonunun ilk sırasında 18 koltuk vardır. Her sonraki sırada öncekinden 2 koltuk fazladır; toplam 12 sıra vardır.
Son sıradaki koltuk sayısını ve salonun toplam kapasitesini bulunuz. İlk ve son sıra toplamlarını kullanarak toplam formülünün neden çalıştığını açıklayınız.
Örnek yanıtı gör
Son sıra 18+11×2=40 koltuk. Toplam 12(18+40)/2=348 koltuk. Birinci-sonuncu, ikinci-sondan ikinci gibi 6 çiftin her biri 58 koltuk içerir;6×58=348.
- Aritmetik artışta 12. sıraya 11 adım olduğunu kullan.
- Sıraları simetrik çiftlere ayır.
Kapsam ve kaynak
Özgün yazılı hazırlık sorularıdır. Resmî sınav soruları değildir. Bazı sorular farklı senaryolarda tekrar kullanılır; senaryolar birbirinden bağımsız denemeler olarak değerlendirilmemelidir.