Matematik

1. Ara ekleme sonrası eşik

Bir tanktaki sıvı miktarı, sızıntı nedeniyle her 2 saatte yarıya düşen sürekli bir üstel modelle değişiyor. Başlangıçta 640 L var. Dördüncü saatin sonunda tanka 80 L ekleniyor; ekleme anında başka kayıp yok. Bundan sonra aynı yarılanma modeli sürüyor. Görevli, ekleme sonrasındaki ilk tam saat kontrolünde miktarın 40 L’nin altına indiğini görmek istiyor.

Görseldeki bilgiler: Şematik zaman çizgisinde t = 0 için 640 L, t = 4 için +80 L etiketi; ardından t = 5, 6, 7, … tam saat kontrolleri vardır. Süreç kartında “Her 2 saatte × 1/2” yazmaktadır. Kesikli çizgi 40 L eşiğini temsil eder. Dördüncü saatin kap çiziminde ilk kaptan daha düşük bir sıvı seviyesi vardır. Görünür not: “Kap çizimleri şematiktir; miktar ölçeği göstermez.” t = 4 öncesi ve sonrası miktarlar sayıyla verilmez.

Başlangıçtan itibaren kaçıncı saatte bu koşul ilk kez sağlanır?

1. 8
2. 9
3. 10
4. 11
5. 12

2. İki logaritmik göstergenin onayı

Bir kayıt sistemine x gerçek sayısı girildiğinde iki gösterge hesaplanıyor. Her iki logaritma da tanımlı olmalı. Sistem yalnız göstergelerin toplamı 3 olduğunda ve A göstergesi B’den küçük olmadığında kaydı onaylıyor. Eşitlikten elde edilen bir cebirsel aday, diğer koşullar denetlenmeden kabul edilmiyor.

Görseldeki bilgiler: A göstergesi log₂(x−1), B göstergesi log₂(9−x) olarak tanımlıdır. İki logaritmanın tabanı da 2’dir. Onay koşulları A + B = 3 ve A ≥ B biçimindedir. Akış sırası Tanımlılık → Toplam → Karşılaştırma → Onay olarak gösterilmiştir.

Hangi x değeri onaylanır?

1. 5−2√2
2. 5+2√2
3. 5−√2
4. 5+√2
5. 9

3. Eşit zaman, sabit oran

Bir simülasyondaki veri miktarı başlangıçta 18, ikinci saatte 72 ve dördüncü saatte 288 birimdir. N(t)=N₀·aᵗ üstel modeli bütün saatlerde geçerli kabul ediliyor.

3. saatteki miktar kaç birimdir?

1. 144
2. 126
3. 162
4. 216
5. 288

4. İlk tam adım

Bir sıkıştırma işlemi kalan verinin her adımda %60’ını koruyor. Başlangıç 2000 MB. Sistem, veri 300 MB’ın altına indiği ilk tamamlanmış adımda duracak.

Sistem kaçıncı adımda durur?

1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
5. 7

5. Ters model ve çalışma aralığı

Bir sensörde x ayarının ürettiği çıktı y=3·2^(x−1) ile modelleniyor. Güvenli çıktı aralığı 6≤y≤24. Uygulama yalnız tam sayı x ayarlarına izin veriyor. Bir görev için kullanılabilecek en yüksek ayar isteniyor.

x’i y cinsinden veren ters kuralı türetiniz. Güvenli tüm tam sayı ayarlarını ve en yükseğini bulunuz; üst sınırı ileri modelle kontrol ediniz.

6. İki hazne ve yerleşim sınırı

İki haznenin kapasite göstergeleri sırasıyla log₂(x−1) ve log₂(x−3) olarak tanımlanmış. İkisinin de gerçek sayılarda tanımlı olması ve toplamlarının 4 olması gerekiyor. Kurulum alanı ayrıca x≤6 koşulunu gerektiriyor.

Gösterge denkleminin geçerli çözümü ve kurulum kararı hangisidir?

1. 2−√17; kurulur
2. 2+√17; kurulur
3. 2+√17; kurulmaz
4. 6; kurulur
5. İki kök de geçerli; kurulmaz

7. Gösterge ve süre birlikte değişiyor

Bir deneyde S=10·log₁₀(I/I₀) göstergesi kullanılıyor; I₀ sabit pozitiftir. Toplam etki E=I·t modeliyle hesaplanıyor. Yeni denemede gösterge 20 birim artırılıyor, süre eski sürenin dörtte birine indiriliyor.

Yeni toplam etki, eskisinin kaç katıdır?

1. 5
2. 20
3. 100
4. 25
5. 400

8. Azalan sinyalin uygun zamanı

Bir deneyde sinyal S(t)=(1/2)ᵗ, t≥0 modeliyle azalıyor. Ölçüm ancak 1/16≤S(t)<1/2 iken yapılabilir. Cihazın hazırlığı 2,5 saatte bittiği için bundan önce ölçüm yapılamıyor.

Uygun zaman aralığını bulunuz. İki sinyal sınırının hangi uçları açık veya kapalı yaptığını açıklayınız.

9. Dış müdahale modeli keser

Bir depo başlangıçta 160 birim veri içeriyor. Her saatin sonunda veri yarıya indiriliyor. İkinci saatin sonunda, o saatin yarılama işleminden hemen sonra 24 birim yeni veri ekleniyor. Sonraki saatlerde aynı yarılama sürüyor.

Dördüncü saatin sonundaki veri kaç birimdir?

1. 10
2. 12
3. 20
4. 34
5. 16

10. Kalibrasyondan siparişe

Bir çoğaltma hattında N(t)=K·aᵗ modeli geçerli; K>0, a>0. Birinci saatte 12, üçüncü saatte 48 birim üretilmiş stok ölçülüyor. Sipariş, aynı modelle başlatılan iki bağımsız partinin 0. ve 2. saatlerdeki stoklarını birleştirerek hazırlanacak.

Siparişte toplam kaç birim olur?

1. 30
2. 36
3. 24
4. 60
5. 18

11. Farklı tabanlar, aynı eşik kararı

A göstergesi bir miktarı ln x, B göstergesi log₁₀x ile kaydediyor. İlk örneğin miktarı e³, ikinci örneğin miktarı 10². İki göstergenin sayıları doğrudan karşılaştırılıp “3>2, o hâlde ilk miktar daha büyük” deniyor. ln 10≈2,30 veriliyor.

İki miktarı aynı logaritma tabanında karşılaştırınız. Hangi miktar daha büyüktür ve gösterge karşılaştırması neden yanıltıcıdır?

12. İşlem aralığı ve geçerli ayar

Bir kontrol programı önce U=x²−4 ve V=x−2 miktarlarını oluşturup F=log₃U−log₃V hesaplıyor. İki miktar da pozitif olmalıdır. F=2 hedefleniyor; ayrıca kullanılan ayar 5≤x≤8 arasında bulunmalıdır.

Bütün koşulları sağlayan ayar hangisidir?

1. −2
2. 7
3. 2
4. 9
5. Koşulların ortak çözümü yok

13. İki geçiş, tek üretim penceresi

Bir üretim modelinde t saatindeki iki gösterge P(t)=4ᵗ+4 ve Q(t)=5·2ᵗ olarak veriliyor. İşlem yalnız 1≤t≤3 zaman aralığında başlatılabilir. Başlatma için göstergelerin eşit olması gerekiyor.

Geçerli başlatma zamanı kaç saattir?

1. 0
2. 1
3. 2
4. 4
5. Geçerli zaman yok

14. Çıktı artarken kaynak oranı

İki yöntemin çıktıları A(t)=5·3ᵗ ve B(t)=20·3ᵗ birimdir. A’nın her çıktı birimi 1 kaynak, B’nin her çıktı birimi 0,2 kaynak tüketir. İki yöntem için de kaynak bütçesi 40 birimdir; t=2 anındaki üretim değerlendirilecek.

Hangi yöntem bütçeye uyar? Çıktı oranı ile kaynak tüketimi oranını ayrı hesaplayınız; “Dört kat çıktı, dört kat kaynak” iddiasını inceleyiniz.

15. Ters ayardan sonra yeni çıktı

Bir cihazın ayar–çıktı bağıntısı f(x)=2^(x+1), ters kuralı g’dir. Önce 8 çıktısına karşılık gelen ayar bulunuyor. Yeni kalibrasyon bu ayarı 1 artırıyor. Cihazın izinli çıktı üst sınırı 12’dir.

İlk ayar, yeni çıktı ve sınır kararı sırasıyla hangisidir?

1. 3;16; aşılır
2. 2;9; aşılmaz
3. 2;8; aşılmaz
4. 2;16; aşılır
5. 4;32; aşılır

16. Sonuç aynı, alan farklı

Bir öğrenci log₂(x²)=2log₂x eşitliğini bütün x≠0 gerçek sayılar için kullanıyor.

Eşitliğin ortak tanım alanını belirtiniz. x=−2 ve x=2 üzerinden iddiayı değerlendiriniz.

17. Eşik zamanı ve birim

Bir simülasyonda P(t)=80·e^(−0,4t) modeli kullanılıyor; t saat cinsindendir. Bir başka ekranda zaman dakika olarak tutuluyor. Miktarın 40’a düştüğü an aranıyor.

Bu zamanı saat ve dakika olarak ln 2 cinsinden bulunuz. Dakika değişkeni m için doğru modeli yazınız.

18. Kayıt tabanı değişirken temizlik yapılıyor

Bir arşivin miktarı x iken onluk göstergesi log₁₀x’tir. Bir işlem bu göstergeyi 2’den 5’e çıkarıyor. Ardından arşivin miktarı 100’e bölünüyor. Yeni yazılım aynı miktarı ln x göstergesiyle kaydedecek. ln 10=k.

Temizlik sonrası doğal log göstergesinin, işlemler öncesindeki doğal log göstergesine göre artışı nedir?

1. 3k
2. 5k
3. 1000k
4. 2k
5. k

19. İki eşik ve bakım aralığı

Bir düzenekte t≥0 saat için A=3ᵗ ve B=(1/3)ᵗ modelleri var. Çalışma için A≤729 ve B≤1/81 birlikte sağlanmalıdır. Ayrıca 4,5<t<5,5 aralığında bakım yapılacak; sınır anlarında çalışma serbest.

Bütün uygun çalışma zamanlarını aralıklarla yazınız. Artan ve azalan tabanların eşitsizlik yönlerini açıklayınız.

20. Kalibrasyon tabanı ve yeni tahmin

Bir gösterge S=logₐx kullanıyor; bütün pozitif x değerlerinde gerçek logaritma olarak çalışmalıdır. Kalibrasyonda x=16 iken S=4 okunuyor. Sonraki ölçümde x, 16’dan sekizde birine indiriliyor. Bir öğrenci a⁴=16’dan hem 2 hem −2 tabanlarını kabul ediyor.

Geçerli tabanı ve yeni gösterge değerini bulunuz. Cebirsel kök ile geçerli logaritma tabanını ayırınız.