10. Sınıf Matematik Senaryona göre yazdır, çöz.

Cevaplı kitapçık · 3 sayfa Analitik rubrik · 4 sayfa

Çözüm ve puanlama

SENARYO 2

7 soru · 100 puan

4 öğrenci sayfası

Cevaplı kitapçık · 3 sayfa Analitik rubrik · 4 sayfa

Çözüm ve puanlama

SENARYO 3

9 soru · 100 puan

5 öğrenci sayfası

Cevaplı kitapçık · 4 sayfa Analitik rubrik · 5 sayfa

Çözüm ve puanlama

SENARYO 4

8 soru · 100 puan

4 öğrenci sayfası

Cevaplı kitapçık · 3 sayfa Analitik rubrik · 4 sayfa

Çözüm ve puanlama

SENARYO 5

6 soru · 100 puan

3 öğrenci sayfası

Cevaplı kitapçık · 3 sayfa Analitik rubrik · 4 sayfa

Çözüm ve puanlama

Ekrandan çalış

Metni büyütmek veya ekran okuyucuyla çalışmak için senaryonu aç.

Senaryo 1 · Sorular ve örnek yanıtlar

1. Bir orandan dört oran · 16 puan

ABC dik üçgeninde C açısı 90°, A dar açıdır. A’nın karşısındaki kenar 6 cm, komşu dik kenar 8 cm’dir.

Hipotenüsü bulunuz. A için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı yazınız; sin² A+cos² A eşitliğini sayısal olarak doğrulayınız.

Örnek yanıtı gör

Hipotenüs 10 cm. sinA=3/5, cosA=4/5, tanA=3/4, cotA=4/3. sin² A+cos² A=9/25+16/25=1.

Pisagor ile √(6²+8²)=10 bul.
Karşı/hipotenüs ve diğer oranların tanımlarını kullan.

2. Benzer üçgenlerde değişmeyen oran · 16 puan

Bir dik üçgende dar açı θ’nın karşısı 5 cm, komşu dik kenarı 12 cm’dir. Benzer bir üçgende bu karşı kenar 15 cm’dir.

İkinci üçgenin diğer iki kenarını bulunuz. Her iki üçgende sinθ ve tanθ değerlerini karşılaştırıp oranların neden değişmediğini açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk hipotenüs 13 cm; benzerlik katsayısı 3. İkinci komşu kenar 36 cm, hipotenüs 39 cm. sinθ=5/13=15/39, tanθ=5/12=15/36. Pay ve payda aynı katsayıyla büyüdüğü için oranlar değişmez.

İlk hipotenüsü Pisagor ile bul.
Benzerlik katsayısını bütün karşılıklı kenarlara uygula.

3. Kenarortay ve alan · 13 puan

ABC üçgeninde D, BC kenarının orta noktasıdır; |BC|=12 cm. A’dan BC doğrusuna indirilen yüksekliğin uzunluğu 5 cm’dir.

ABD ve ACD üçgenlerinin alanlarını bulunuz. Kenarortayın neden üçgeni eş alanlı iki parçaya ayırdığını bu örnekten genelleyiniz.

Örnek yanıtı gör

BD=DC=6 cm; her alan 6×5/2=15 cm² dir. İki küçük üçgenin yükseklikleri aynı, tabanları eşit olduğundan alanları eşittir.

Orta nokta bilgisinden iki eş taban çıkar.
Aynı tepe ve doğruya göre yüksekliği kullan.

4. Taban artınca alan · 13 puan

Bir üçgenin tabanı 8 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm’dir. Yeni bir üçgende taban uzunluğu%50 artırılıyor, aynı tabana ait yükseklik değişmiyor.

İki üçgenin alanlarını bulunuz. Alanın yüzde kaç değiştiğini ve nedenini alan bağıntısıyla açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk alan 8×6/2=24 cm². Yeni taban 12 cm; yeni alan 12×6/2=36 cm². Alan 12 cm² yani%50 artar; yükseklik sabitken alan tabanla doğru orantılıdır.

Tabanı 1,5 ile çarp.
Her iki alanda aynı yüksekliği kullan.

5. Kosinüs teoremini doğrulama · 16 puan

ABC dar açılı üçgeninde |AC|=b,|BC|=a,|AB|=c; C açısı θ’dır. A’dan BC’ye indirilen dikmenin ayağı D, B ile C arasındadır.

CD=b cosθ ve AD=b sinθ ilişkilerini kullanarak c²=a²+b²−2 ab cosθ eşitliğini türetiniz. Sonra a=b=5,θ=60° için c’yi hesaplayınız.

Örnek yanıtı gör

BD=a−b cosθ. Pisagor: c²=(a−b cosθ)²+(b sinθ)²=a²−2 ab cosθ+b²(cos²θ+sin²θ)=a²+b²−2 ab cosθ. Verilenlerde c²=25+25−50×1/2=25; c=5.

ABD dik üçgeninde Pisagor yaz.
Kareyi açıp sin²θ+cos²θ=1 kullan.

6. Kulüp ve ulaşım · 14 puan

Bir okulda 80 öğrencinin kulüp tercihi ile okula geliş biçimi kaydedilmiştir. Bu kayıt yalnız ankete katılan öğrencileri kapsar.

Ulaşım	Spor	Sanat
Yürüyerek	24	16
Servisle	12	28

Tablodan yürüyerek gelenlerin spor kulübünü seçme oranını ve servisle gelenlerin spor kulübünü seçme oranını bulunuz. Bu örneklemde ilişki olup olmadığına dair bir yorum yapınız; ulaşım biçiminin tercih üzerinde kesin neden olduğunu söyleyip söyleyemeyeceğinizi açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

Yürüyenlerde spor oranı 24/40=%60; servisle gelenlerde 12/40=%30. Oranlar farklı olduğundan örneklemde iki kategorik değişken arasında ilişki görülür. Gözlemsel kayıt tek başına neden-sonuç kanıtlamaz.

Her ulaşım grubunun kendi toplamını payda al.
Koşullu oranları karşılaştır; nedensellik iddiasını sınırla.

7. Eşit yüzdeler, farklı toplamlar · 12 puan

Bir belediye iki mahallede yetişkinlere kütüphane üyeliğini sormuştur. Mahalle A’da 200 kişiden 80’i; mahalle B’de 50 kişiden 20’si üyedir.

Mahalle ve üyelik durumunu gösteren iki yönlü frekans tablosu oluşturunuz. Mahalle bazındaki üyelik yüzdelerini hesaplayıp “A’da üye sayısı daha fazla, bu nedenle üyelik eğilimi daha yüksektir.” yorumunu değerlendiriniz.

Örnek yanıtı gör

Tablo A: üye 80, üye değil 120; B: üye 20, üye değil 30. Üyelik yüzdeleri 80/200=%40 ve 20/50=%40. Mutlak sayılar farklıdır ama örneklemdeki üyelik oranları aynıdır; iddia desteklenmez.

Üye olmayan sayıları grup toplamlarından çıkar.
Farklı örneklem büyüklükleri için oranları karşılaştır.

Senaryo 2 · Sorular ve örnek yanıtlar

1. Bir orandan dört oran · 16 puan

ABC dik üçgeninde C açısı 90°, A dar açıdır. A’nın karşısındaki kenar 6 cm, komşu dik kenar 8 cm’dir.

Hipotenüsü bulunuz. A için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı yazınız; sin² A+cos² A eşitliğini sayısal olarak doğrulayınız.

Örnek yanıtı gör

Hipotenüs 10 cm. sinA=3/5, cosA=4/5, tanA=3/4, cotA=4/3. sin² A+cos² A=9/25+16/25=1.

Pisagor ile √(6²+8²)=10 bul.
Karşı/hipotenüs ve diğer oranların tanımlarını kullan.

2. Benzer üçgenlerde değişmeyen oran · 16 puan

Bir dik üçgende dar açı θ’nın karşısı 5 cm, komşu dik kenarı 12 cm’dir. Benzer bir üçgende bu karşı kenar 15 cm’dir.

İkinci üçgenin diğer iki kenarını bulunuz. Her iki üçgende sinθ ve tanθ değerlerini karşılaştırıp oranların neden değişmediğini açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk hipotenüsü Pisagor ile bul.
Benzerlik katsayısını bütün karşılıklı kenarlara uygula.

3. Özdeşliği üçgenden çıkarma · 16 puan

Bir dik üçgende dar açı α’nın karşı kenarı a, komşu dik kenarı b, hipotenüsü c olsun.

Pisagor bağıntısından sin²α+cos²α=1 özdeşliğini türetiniz. Ardından sinα=5/13 olan dar açı için cosα’yı bulunuz.

Örnek yanıtı gör

a²+b²=c² eşitliği c²’ye bölünür: (a/c)²+(b/c)²=1. Bunlar sin²αve cos²α’dır. cos²α=1−25/169=144/169; dar açı olduğundan cosα=12/13.

Pisagor eşitliğini hipotenüsün karesine böl.
Oranları trigonometrik tanımlarla değiştir.

4. Kenarortay ve alan · 13 puan

ABC üçgeninde D, BC kenarının orta noktasıdır; |BC|=12 cm. A’dan BC doğrusuna indirilen yüksekliğin uzunluğu 5 cm’dir.

ABD ve ACD üçgenlerinin alanlarını bulunuz. Kenarortayın neden üçgeni eş alanlı iki parçaya ayırdığını bu örnekten genelleyiniz.

Örnek yanıtı gör

BD=DC=6 cm; her alan 6×5/2=15 cm² dir. İki küçük üçgenin yükseklikleri aynı, tabanları eşit olduğundan alanları eşittir.

Orta nokta bilgisinden iki eş taban çıkar.
Aynı tepe ve doğruya göre yüksekliği kullan.

5. Taban artınca alan · 12 puan

Bir üçgenin tabanı 8 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm’dir. Yeni bir üçgende taban uzunluğu%50 artırılıyor, aynı tabana ait yükseklik değişmiyor.

İki üçgenin alanlarını bulunuz. Alanın yüzde kaç değiştiğini ve nedenini alan bağıntısıyla açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk alan 8×6/2=24 cm². Yeni taban 12 cm; yeni alan 12×6/2=36 cm². Alan 12 cm² yani%50 artar; yükseklik sabitken alan tabanla doğru orantılıdır.

Tabanı 1,5 ile çarp.
Her iki alanda aynı yüksekliği kullan.

6. Kosinüs teoremini doğrulama · 14 puan

ABC dar açılı üçgeninde |AC|=b,|BC|=a,|AB|=c; C açısı θ’dır. A’dan BC’ye indirilen dikmenin ayağı D, B ile C arasındadır.

CD=b cosθ ve AD=b sinθ ilişkilerini kullanarak c²=a²+b²−2 ab cosθ eşitliğini türetiniz. Sonra a=b=5,θ=60° için c’yi hesaplayınız.

Örnek yanıtı gör

BD=a−b cosθ. Pisagor: c²=(a−b cosθ)²+(b sinθ)²=a²−2 ab cosθ+b²(cos²θ+sin²θ)=a²+b²−2 ab cosθ. Verilenlerde c²=25+25−50×1/2=25; c=5.

ABD dik üçgeninde Pisagor yaz.
Kareyi açıp sin²θ+cos²θ=1 kullan.

7. Kulüp ve ulaşım · 13 puan

Bir okulda 80 öğrencinin kulüp tercihi ile okula geliş biçimi kaydedilmiştir. Bu kayıt yalnız ankete katılan öğrencileri kapsar.

Ulaşım	Spor	Sanat
Yürüyerek	24	16
Servisle	12	28

Örnek yanıtı gör

Her ulaşım grubunun kendi toplamını payda al.
Koşullu oranları karşılaştır; nedensellik iddiasını sınırla.

Senaryo 3 · Sorular ve örnek yanıtlar

1. Bir orandan dört oran · 12 puan

ABC dik üçgeninde C açısı 90°, A dar açıdır. A’nın karşısındaki kenar 6 cm, komşu dik kenar 8 cm’dir.

Hipotenüsü bulunuz. A için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı yazınız; sin² A+cos² A eşitliğini sayısal olarak doğrulayınız.

Örnek yanıtı gör

Hipotenüs 10 cm. sinA=3/5, cosA=4/5, tanA=3/4, cotA=4/3. sin² A+cos² A=9/25+16/25=1.

Pisagor ile √(6²+8²)=10 bul.
Karşı/hipotenüs ve diğer oranların tanımlarını kullan.

2. Benzer üçgenlerde değişmeyen oran · 12 puan

Bir dik üçgende dar açı θ’nın karşısı 5 cm, komşu dik kenarı 12 cm’dir. Benzer bir üçgende bu karşı kenar 15 cm’dir.

İkinci üçgenin diğer iki kenarını bulunuz. Her iki üçgende sinθ ve tanθ değerlerini karşılaştırıp oranların neden değişmediğini açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk hipotenüsü Pisagor ile bul.
Benzerlik katsayısını bütün karşılıklı kenarlara uygula.

3. Özdeşliği üçgenden çıkarma · 12 puan

Bir dik üçgende dar açı α’nın karşı kenarı a, komşu dik kenarı b, hipotenüsü c olsun.

Pisagor bağıntısından sin²α+cos²α=1 özdeşliğini türetiniz. Ardından sinα=5/13 olan dar açı için cosα’yı bulunuz.

Örnek yanıtı gör

a²+b²=c² eşitliği c²’ye bölünür: (a/c)²+(b/c)²=1. Bunlar sin²αve cos²α’dır. cos²α=1−25/169=144/169; dar açı olduğundan cosα=12/13.

Pisagor eşitliğini hipotenüsün karesine böl.
Oranları trigonometrik tanımlarla değiştir.

4. Kenarortay ve alan · 10 puan

ABC üçgeninde D, BC kenarının orta noktasıdır; |BC|=12 cm. A’dan BC doğrusuna indirilen yüksekliğin uzunluğu 5 cm’dir.

ABD ve ACD üçgenlerinin alanlarını bulunuz. Kenarortayın neden üçgeni eş alanlı iki parçaya ayırdığını bu örnekten genelleyiniz.

Örnek yanıtı gör

BD=DC=6 cm; her alan 6×5/2=15 cm² dir. İki küçük üçgenin yükseklikleri aynı, tabanları eşit olduğundan alanları eşittir.

Orta nokta bilgisinden iki eş taban çıkar.
Aynı tepe ve doğruya göre yüksekliği kullan.

5. Açıortayın böldüğü kenar · 10 puan

ABC üçgeninde |AB|=6 cm,|AC|=9 cm,|BC|=10 cm’dir. A açısının iç açıortayı BC’yi D noktasında kesmektedir.

BD ve DC’yi bulunuz. Sonucunuzun kenarortayla aynı olup olmadığını açıklayınız; kullandığınız açıortay oranını açıkça yazınız.

Örnek yanıtı gör

BD/DC=AB/AC=6/9=2/3. BD=2 k, DC=3 k,5 k=10 olduğundan BD=4 cm, DC=6 cm. Eşit olmadıkları için AD bu üçgende kenarortay değildir.

Açıortay teoremine göre komşu kenar oranını yaz.
BC toplamıyla iki parçayı belirle.

6. Taban artınca alan · 10 puan

Bir üçgenin tabanı 8 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm’dir. Yeni bir üçgende taban uzunluğu%50 artırılıyor, aynı tabana ait yükseklik değişmiyor.

İki üçgenin alanlarını bulunuz. Alanın yüzde kaç değiştiğini ve nedenini alan bağıntısıyla açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk alan 8×6/2=24 cm². Yeni taban 12 cm; yeni alan 12×6/2=36 cm². Alan 12 cm² yani%50 artar; yükseklik sabitken alan tabanla doğru orantılıdır.

Tabanı 1,5 ile çarp.
Her iki alanda aynı yüksekliği kullan.

7. Kosinüs teoremini doğrulama · 12 puan

ABC dar açılı üçgeninde |AC|=b,|BC|=a,|AB|=c; C açısı θ’dır. A’dan BC’ye indirilen dikmenin ayağı D, B ile C arasındadır.

CD=b cosθ ve AD=b sinθ ilişkilerini kullanarak c²=a²+b²−2 ab cosθ eşitliğini türetiniz. Sonra a=b=5,θ=60° için c’yi hesaplayınız.

Örnek yanıtı gör

BD=a−b cosθ. Pisagor: c²=(a−b cosθ)²+(b sinθ)²=a²−2 ab cosθ+b²(cos²θ+sin²θ)=a²+b²−2 ab cosθ. Verilenlerde c²=25+25−50×1/2=25; c=5.

ABD dik üçgeninde Pisagor yaz.
Kareyi açıp sin²θ+cos²θ=1 kullan.

8. Kulüp ve ulaşım · 10 puan

Bir okulda 80 öğrencinin kulüp tercihi ile okula geliş biçimi kaydedilmiştir. Bu kayıt yalnız ankete katılan öğrencileri kapsar.

Ulaşım	Spor	Sanat
Yürüyerek	24	16
Servisle	12	28

Örnek yanıtı gör

Her ulaşım grubunun kendi toplamını payda al.
Koşullu oranları karşılaştır; nedensellik iddiasını sınırla.

9. Eşit yüzdeler, farklı toplamlar · 12 puan

Bir belediye iki mahallede yetişkinlere kütüphane üyeliğini sormuştur. Mahalle A’da 200 kişiden 80’i; mahalle B’de 50 kişiden 20’si üyedir.

Örnek yanıtı gör

Üye olmayan sayıları grup toplamlarından çıkar.
Farklı örneklem büyüklükleri için oranları karşılaştır.

Senaryo 4 · Sorular ve örnek yanıtlar

1. Bir orandan dört oran · 16 puan

ABC dik üçgeninde C açısı 90°, A dar açıdır. A’nın karşısındaki kenar 6 cm, komşu dik kenar 8 cm’dir.

Hipotenüsü bulunuz. A için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı yazınız; sin² A+cos² A eşitliğini sayısal olarak doğrulayınız.

Örnek yanıtı gör

Hipotenüs 10 cm. sinA=3/5, cosA=4/5, tanA=3/4, cotA=4/3. sin² A+cos² A=9/25+16/25=1.

Pisagor ile √(6²+8²)=10 bul.
Karşı/hipotenüs ve diğer oranların tanımlarını kullan.

2. Benzer üçgenlerde değişmeyen oran · 14 puan

Bir dik üçgende dar açı θ’nın karşısı 5 cm, komşu dik kenarı 12 cm’dir. Benzer bir üçgende bu karşı kenar 15 cm’dir.

İkinci üçgenin diğer iki kenarını bulunuz. Her iki üçgende sinθ ve tanθ değerlerini karşılaştırıp oranların neden değişmediğini açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk hipotenüsü Pisagor ile bul.
Benzerlik katsayısını bütün karşılıklı kenarlara uygula.

3. Kenarortay ve alan · 11 puan

ABC üçgeninde D, BC kenarının orta noktasıdır; |BC|=12 cm. A’dan BC doğrusuna indirilen yüksekliğin uzunluğu 5 cm’dir.

ABD ve ACD üçgenlerinin alanlarını bulunuz. Kenarortayın neden üçgeni eş alanlı iki parçaya ayırdığını bu örnekten genelleyiniz.

Örnek yanıtı gör

BD=DC=6 cm; her alan 6×5/2=15 cm² dir. İki küçük üçgenin yükseklikleri aynı, tabanları eşit olduğundan alanları eşittir.

Orta nokta bilgisinden iki eş taban çıkar.
Aynı tepe ve doğruya göre yüksekliği kullan.

4. Açıortayın böldüğü kenar · 11 puan

ABC üçgeninde |AB|=6 cm,|AC|=9 cm,|BC|=10 cm’dir. A açısının iç açıortayı BC’yi D noktasında kesmektedir.

BD ve DC’yi bulunuz. Sonucunuzun kenarortayla aynı olup olmadığını açıklayınız; kullandığınız açıortay oranını açıkça yazınız.

Örnek yanıtı gör

BD/DC=AB/AC=6/9=2/3. BD=2 k, DC=3 k,5 k=10 olduğundan BD=4 cm, DC=6 cm. Eşit olmadıkları için AD bu üçgende kenarortay değildir.

Açıortay teoremine göre komşu kenar oranını yaz.
BC toplamıyla iki parçayı belirle.

5. Taban artınca alan · 11 puan

Bir üçgenin tabanı 8 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm’dir. Yeni bir üçgende taban uzunluğu%50 artırılıyor, aynı tabana ait yükseklik değişmiyor.

İki üçgenin alanlarını bulunuz. Alanın yüzde kaç değiştiğini ve nedenini alan bağıntısıyla açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk alan 8×6/2=24 cm². Yeni taban 12 cm; yeni alan 12×6/2=36 cm². Alan 12 cm² yani%50 artar; yükseklik sabitken alan tabanla doğru orantılıdır.

Tabanı 1,5 ile çarp.
Her iki alanda aynı yüksekliği kullan.

6. İki değişiklik birbirini dengeler mi? · 11 puan

Bir üçgenin tabanı a, bu tabana ait yüksekliği h’dir. İkinci üçgende taban 2 a, bu tabana ait yükseklik h/2 olmaktadır. Üçüncü üçgende taban 2 a, yükseklik 2 h’dir.

İkinci ve üçüncü üçgenlerin alanlarını ilk üçgenin alanıyla karşılaştırınız. “Taban iki katına çıkarsa alan her zaman iki katına çıkar.” iddiasını değerlendiriniz.

Örnek yanıtı gör

İlk alan S=ah/2. İkinci alan(2 a)(h/2)/2=ah/2=S. Üçüncü alan(2 a)(2 h)/2=2 ah=4 S. İddia ancak ilgili yükseklik sabitken doğrudur; genel olarak yanlıştır.

Her üç durumda tabanla ona ait yüksekliği birlikte çarp.
Alan oranlarında ortak ah/2 çarpanını kullan.

7. Kosinüs teoremini doğrulama · 14 puan

ABC dar açılı üçgeninde |AC|=b,|BC|=a,|AB|=c; C açısı θ’dır. A’dan BC’ye indirilen dikmenin ayağı D, B ile C arasındadır.

CD=b cosθ ve AD=b sinθ ilişkilerini kullanarak c²=a²+b²−2 ab cosθ eşitliğini türetiniz. Sonra a=b=5,θ=60° için c’yi hesaplayınız.

Örnek yanıtı gör

BD=a−b cosθ. Pisagor: c²=(a−b cosθ)²+(b sinθ)²=a²−2 ab cosθ+b²(cos²θ+sin²θ)=a²+b²−2 ab cosθ. Verilenlerde c²=25+25−50×1/2=25; c=5.

ABD dik üçgeninde Pisagor yaz.
Kareyi açıp sin²θ+cos²θ=1 kullan.

8. Bir yüksekliğin iki ifadesi · 12 puan

ABC üçgeninde A ve B açıları dardır; |BC|=a,|AC|=b,|AB|=c’dir. C’den AB’ye indirilen yüksekliğin uzunluğu h olsun.

Yüksekliği A ve B açılarıyla ayrı ayrı ifade ederek a/sinA=b/sinB eşitliğini türetiniz. A=30°, B=45°, a=6 olduğunda b’yi bulunuz.

Örnek yanıtı gör

h=b sinA ve h=a sinB. Bu yüzden b sinA=a sinB; a/sinA=b/sinB. b=6·sin 45°/sin 30°=6√2.

İki dik üçgende sinüs tanımıyla aynı yüksekliği yaz.
Eşit yüksekliklerden oran eşitliğini çıkar.

Senaryo 5 · Sorular ve örnek yanıtlar

1. Bir orandan dört oran · 19 puan

ABC dik üçgeninde C açısı 90°, A dar açıdır. A’nın karşısındaki kenar 6 cm, komşu dik kenar 8 cm’dir.

Hipotenüsü bulunuz. A için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı yazınız; sin² A+cos² A eşitliğini sayısal olarak doğrulayınız.

Örnek yanıtı gör

Hipotenüs 10 cm. sinA=3/5, cosA=4/5, tanA=3/4, cotA=4/3. sin² A+cos² A=9/25+16/25=1.

Pisagor ile √(6²+8²)=10 bul.
Karşı/hipotenüs ve diğer oranların tanımlarını kullan.

2. Benzer üçgenlerde değişmeyen oran · 18 puan

Bir dik üçgende dar açı θ’nın karşısı 5 cm, komşu dik kenarı 12 cm’dir. Benzer bir üçgende bu karşı kenar 15 cm’dir.

İkinci üçgenin diğer iki kenarını bulunuz. Her iki üçgende sinθ ve tanθ değerlerini karşılaştırıp oranların neden değişmediğini açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk hipotenüsü Pisagor ile bul.
Benzerlik katsayısını bütün karşılıklı kenarlara uygula.

3. Kenarortay ve alan · 15 puan

ABC üçgeninde D, BC kenarının orta noktasıdır; |BC|=12 cm. A’dan BC doğrusuna indirilen yüksekliğin uzunluğu 5 cm’dir.

ABD ve ACD üçgenlerinin alanlarını bulunuz. Kenarortayın neden üçgeni eş alanlı iki parçaya ayırdığını bu örnekten genelleyiniz.

Örnek yanıtı gör

BD=DC=6 cm; her alan 6×5/2=15 cm² dir. İki küçük üçgenin yükseklikleri aynı, tabanları eşit olduğundan alanları eşittir.

Orta nokta bilgisinden iki eş taban çıkar.
Aynı tepe ve doğruya göre yüksekliği kullan.

4. Açıortayın böldüğü kenar · 15 puan

ABC üçgeninde |AB|=6 cm,|AC|=9 cm,|BC|=10 cm’dir. A açısının iç açıortayı BC’yi D noktasında kesmektedir.

BD ve DC’yi bulunuz. Sonucunuzun kenarortayla aynı olup olmadığını açıklayınız; kullandığınız açıortay oranını açıkça yazınız.

Örnek yanıtı gör

BD/DC=AB/AC=6/9=2/3. BD=2 k, DC=3 k,5 k=10 olduğundan BD=4 cm, DC=6 cm. Eşit olmadıkları için AD bu üçgende kenarortay değildir.

Açıortay teoremine göre komşu kenar oranını yaz.
BC toplamıyla iki parçayı belirle.

5. Taban artınca alan · 15 puan

Bir üçgenin tabanı 8 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm’dir. Yeni bir üçgende taban uzunluğu%50 artırılıyor, aynı tabana ait yükseklik değişmiyor.

İki üçgenin alanlarını bulunuz. Alanın yüzde kaç değiştiğini ve nedenini alan bağıntısıyla açıklayınız.

Örnek yanıtı gör

İlk alan 8×6/2=24 cm². Yeni taban 12 cm; yeni alan 12×6/2=36 cm². Alan 12 cm² yani%50 artar; yükseklik sabitken alan tabanla doğru orantılıdır.

Tabanı 1,5 ile çarp.
Her iki alanda aynı yüksekliği kullan.

6. Kosinüs teoremini doğrulama · 18 puan

ABC dar açılı üçgeninde |AC|=b,|BC|=a,|AB|=c; C açısı θ’dır. A’dan BC’ye indirilen dikmenin ayağı D, B ile C arasındadır.

CD=b cosθ ve AD=b sinθ ilişkilerini kullanarak c²=a²+b²−2 ab cosθ eşitliğini türetiniz. Sonra a=b=5,θ=60° için c’yi hesaplayınız.

Örnek yanıtı gör

BD=a−b cosθ. Pisagor: c²=(a−b cosθ)²+(b sinθ)²=a²−2 ab cosθ+b²(cos²θ+sin²θ)=a²+b²−2 ab cosθ. Verilenlerde c²=25+25−50×1/2=25; c=5.

ABD dik üçgeninde Pisagor yaz.
Kareyi açıp sin²θ+cos²θ=1 kullan.